Question

已知函數f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

、f（2）=

17

4

．
（1）求a、b的值；（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）先判斷并證明函數f（x）在[0，+∞）上的單調性，然后求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=

5

2

、f（2）=

17

4

列方程組，解這個指數方程組即可得a、b的值；（2）先求函數的解析式，在求函數的定義域，最后利用函數奇偶性的定義證明函數的奇偶性；（3）利用函數單調性的定義，通過設變量，作差比較函數值的大小證明函數的單調性，利用函數的單調性求函數的值域即可

解答：解：（1）由

f(1)= 5 2 f(2)= 17 4

得

2+2a+b= 5 2 22+22a+b= 17 4

解得

a=-1 b=0

；
（2）∵f（x）=2^x+2^-x，f（x）的定義域為R，
由f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
所以f（x）為偶函數．
（3）f（x）在[0，+∞）上為增函數．證明如下：
設x₁＜x₂，且x₁，x₂∈[0，+∞）
f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1)-(2x2+2-x2)=(2x1-2x2)+(

1

2x1

-

1

2x2

)=(2x1-2x2)•

2x1+x2-1

2x1+x2

因為x₁＜x₂且x₁，x₂∈[0，+∞）
所以2x1-2x2＜0，2x1+x2＞1
所以f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x）在[0，+∞）上為增函數．
∴f（x）≥f（0）=2
f（x）的值域為[2，+∞）

點評：本題考查了指數方程的解法，函數解析式的求法，函數的奇偶性定義及其判斷方法，函數單調性定義和證明方法，利用單調性求函數值域的方法