Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

3

2

，且經(jīng)過點(diǎn)M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l不過點(diǎn)M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓的離心率為

3

2

，得出a²=4b²，再根據(jù)M（4，1）在橢圓上，解方程組得b²=5，a²=20，從而得出橢圓的方程；
（II）因?yàn)橹本�l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B，可將直線方程與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而△＞0，解得-5＜m＜5；
（III）設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），對(duì)（II）的方程利用根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-20

5

．再計(jì)算出直線MA的斜率k₁=

y1-1

x1-4

，MB的斜率為k₂=

y2-1

x2-4

，將式子K₁+K₂通分化簡，最后可得其分子為0，從而得出k₁+k₂=0，得直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，命題得證．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵橢圓的離心率為e=

3

2

，
∴a²=4b²，
又∵M(jìn)（4，1），
∴

16

a2

+

1

b2

=1，解得b²=5，a²=20，故橢圓方程為

x2

20

+

y2

5

=1．…（4分）
（Ⅱ）將y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1并整理得
5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B
∴△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5．…（7分）
（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁和k₂，只要證明k₁+k₂=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
根據(jù)（Ⅱ）中的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-20

5

．
k1+k2=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

上式的分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8(m-1)=0
所以k₁+k₂=0，得直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)
∴直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．解題時(shí)注意設(shè)而不求和轉(zhuǎn)化化歸等常用思想的運(yùn)用，本題的綜合性較強(qiáng)對(duì)運(yùn)算的要求很高．