Question

12．設(shè)直線l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中實(shí)數(shù)k₁，k₂滿足k₁k₂+1=0．
（1）證明：直線l₁與l₂相交；
（2）試用解析幾何的方法證明：直線l₁與l₂的交點(diǎn)到原點(diǎn)距離為定值；
（3）設(shè)原點(diǎn)到l₁與l₂的距離分別為d₁和d₂，求d₁+d₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)l₁與l₂平行，有k₁=k₂，代入k₁k₂+1=0，得k12+1=0，這與k₁為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，故l₁與l₂相交．
（2）由（1）知k₁≠k₂，聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后由兩點(diǎn)間的距離公式求得直線l₁與l₂的交點(diǎn)到原點(diǎn)距離為定值；
（3）利用點(diǎn)到直線的距離和不等式的性質(zhì)進(jìn)行解答．

解答 證明：（1）反證法：假設(shè)l₁與l₂不相交，
則l₁與l₂平行，有k₁=k₂，
代入k₁k₂+1=0，得k12+1=0，
這與k₁為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，
∴k₁≠k₂，
故l₁與l₂相交．
（2）由（1）知k₁≠k₂，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+1}\\{y={k}_{2}x-1}\end{array}\right.$解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{{k}_{2}-{k}_{1}}}\\{y=\frac{{k}_{2}+{k}_{1}}{{k}_{2}-{k}_{1}}}\end{array}\right.$，而x²+y²=$（\frac{2}{{k}_{2}-{k}_{1}}）^{2}$+$（\frac{{k}_{2}+{k}_{1}}{{k}_{2}-{k}_{1}}）^{2}$=$\frac{4+{{k}_{2}}^{2}+{{k}_{1}}^{2}+2{k}_{1}{k}_{2}}{{{k}_{2}}^{2}+{{k}_{1}}^{2}-2{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}+2}{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}+2}$=1．即l₁與l₂的交點(diǎn)到原點(diǎn)距離為1．
解：（3）d₁+d₂=$\frac{1}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+（-\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}）}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$+$\frac{|{k}_{1}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\frac{1+|{k}_{1}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1+|{k}_{1}{|}^{2}}{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2|{k}_{1}{|}^{2}}{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{\frac{1}{|{k}_{1}|}+|{k}_{1}|}}$，
當(dāng)|k₁|=1即k₁=±1時(shí)，d₁+d₂的最大值是$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 關(guān)于兩條直線位置關(guān)系的問題，常常單獨(dú)出現(xiàn)在選擇題和填空題中，或作為綜合題的一部分出現(xiàn)在解答題中，主要考查以下三種：一、判斷兩條直線平行和垂直；二、求點(diǎn)到直線的距離、平行線間的距離；三、求直線的交點(diǎn)或夾角及利用它們求參數(shù)等．