Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x（其中常數(shù)a≠0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在 x=1處取得極值，且在（0，e]上的最大值為1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)f′（x）=0，可構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，根據(jù)a=1求出b值；可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)值大于0和小于0時(shí)，x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，則f′（1）=0，又由函數(shù)在（0，e]上的最大值為1，討論a，得出極值，把極值同端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較得到最大值，最后利用條件建立關(guān)于a的方程求得結(jié)果．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，因?yàn)閒（x）=lnx+ax²-3x，所以x＞0，
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

令f′（x）=0，解得x1=

1

2

，x₂=1                            
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增；
當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（

1

2

，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

2

），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

2

，1）；
（2）因?yàn)閒′（x）=

(2ax-1)(x-1)

x

令f′（x）=0，x₁=1，x₂=

1

2a

因?yàn)閒（x）在 x=1處取得極值，所以x₂=

1

2a

≠x₁=1，
①當(dāng)

1

2a

＜0時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減
所以f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為f（1），
令f（1）=1，解得a=-2
②當(dāng)a＞0，x₂=

1

2a

＞0
（i）當(dāng)

1

2a

＜1時(shí)，f（x）在（0，

1

2a

）上單調(diào)遞增，（

1

2a

，1）上單調(diào)遞減，（1，e）上單調(diào)遞增
所以最大值1可能在x=

1

2a

或x=e處取得
而f（

1

2a

）=ln

1

2a

+a（

1

2a

）²-（2a+1）•

1

2a

=ln

1

2a

-

1

4a

-1＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a=

1

e-2

，
（ii）當(dāng)1≤

1

2a

＜e時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，（1，

1

2a

）上單調(diào)遞減，（

1

2a

，e）上單調(diào)遞增
所以最大值1可能在x=1或x=e處取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=

1

e-2

，與1＜x₂=

1

2a

＜e矛盾
（iii）當(dāng)x₂=

1

2a

≥e時(shí)，f（X）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）單調(diào)遞減，
所以最大值1可能在x=1處取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾
綜上所述，a=

1

e-2

或a=-2．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中根據(jù)已知條件確定a，b值，得到函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式并對其符號進(jìn)行分析，是解答的關(guān)鍵．屬于中檔題．