Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+2，g（x）=kx-2lnx+3（k＞-$\frac{1}{6}$）．
（Ⅰ）若過點(diǎn)P（a，-3）（a＞0）恰有兩條直線與曲線y=f（x）相切，求a的值；
（Ⅱ）用min{p，q}表示p，q中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程，求得切線方程，由方程2t³-3（a+1）t²+6at-5=0有兩個(gè)解，令φ′（t）=0，求得t的值，分類討論，根據(jù)函數(shù)的擔(dān)心即可求得a的值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)定義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，采用分類討論法，求得函數(shù)h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求得h（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-3x²+2，求導(dǎo)f′（x）=3x²-6x，
設(shè)切點(diǎn)為（t，f（t）），則該點(diǎn)處的切線方程為y-（t³-3t²+2）=（3t²-6t）（x-t），
又∵切線過點(diǎn)P（a，-3），則-3-（t³-3t²+2）=（3t²-6t）（a-t），
整理得，2t³-3（a+1）t²+6at-5=0，（*）
依題設(shè)，方程（*）恰有兩個(gè)不同的解，
令φ（t）=2t³-3（a+1）t²+6at-5，則φ′（t）=6t²-6（a+1）t+6a=6（t-1）（t-a），
令φ′（t）=0，解得：t=1或t=a，
①當(dāng)a=1時(shí)，φ′（t）≥0恒成立，φ（t）單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題設(shè)；
②當(dāng)a≠1時(shí)，則1，a為φ（t）的極值點(diǎn)，若φ（t）=0恰有兩個(gè)不同的解，
則φ（1）=0或φ（a）=0，又∵φ（a）=-a³+3a²-5，
φ（1）=3a-6，
∴a=2或-a³+3a²-5=0．
令r（a）=-a³+3a²-5，則r′（a）=-3a²+6a=-3a（a-2），
令r′（a）＞0，得0＜a＜2，
∴r（a）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
又∵r（2）=-1，
∴當(dāng)a≥0且a≠1時(shí)，r（a）=0無解，
∴a=2，
∴a的值2；．
（Ⅱ）∵f（x）=x³-3x²+2=（x-1）（x²-2x-2），
∴當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=0．解得x₁=1，x₂=$\sqrt{3}$+1，
由（Ⅰ）知，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x∈（0，1）∪（$\sqrt{3}$+1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（1，$\sqrt{3}$+1]時(shí)，f（x）＜0．
∵g（x）=kx-2lnx+3（k＞-$\frac{1}{6}$），求導(dǎo)，g′（x）=k-$\frac{2}{x}$，
∴當(dāng)-$\frac{1}{6}$＜k≤0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵g（3）=3k-2ln3，3-2ln3=ln$\frac{{e}^{3}}{9}$＞$\frac{1}{2}$，k＞-$\frac{1}{6}$，
∴g（3）＞0．
∴當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，g（x）＞0，當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，g（x）＜0，
此時(shí)h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），恰有三個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)k＞0時(shí)，g′（x）=k-$\frac{2}{x}$=$\frac{kx-2}{x}$，令g′（x）＞0，解得x＞$\frac{2}{k}$，
∴g（x）在（0，$\frac{2}{k}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{2}{k}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（$\frac{2}{k}$）=5-ln$\frac{2}{k}$，當(dāng)k＞$\frac{2}{{e}^{\frac{5}{2}}}$時(shí)，g（$\frac{2}{k}$）＞0，此時(shí)不合題意；
當(dāng)k=$\frac{2}{{e}^{\frac{5}{2}}}$時(shí)，g（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)${e}^{\frac{5}{2}}$，此時(shí)符合題意；
當(dāng)0＜k＜$\frac{2}{{e}^{\frac{5}{2}}}$時(shí)，$\frac{2}{k}$＞${e}^{\frac{5}{2}}$＞6，g（$\frac{2}{k}$）＜0，
又∵g（3）=3k-2ln3+3＞0，當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞．
∴g（x）在（3，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)h（x）在（0，+∞）上有4個(gè)零點(diǎn)，不合題設(shè)．
綜上，k的取值范圍是（-$\frac{1}{6}$，0）∪{$\frac{2}{{e}^{\frac{5}{2}}}$}．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及最值得關(guān)系，考查抽象概括能力、推理能力與函數(shù)和方程思想、分類和整合思想，是一道綜合題，屬于難題．