Question

已知奇函數f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意義，且在（0，+∞）上是增函數，f（1）=0
（1）求滿足不等式f（x）＜0的實數x的取值范圍；
（2）設函數g（θ）=sin²θ+m•cosθ-2m，若集合M={m|g（θ）＜0}，集合 N={m|f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,交集及其運算,函數單調性的性質

專題：綜合法,函數的性質及應用

分析：根據奇偶性，判斷出f （x） 在 （-∞，0）上也是增函數，列出不等式，求解即可．
（2）利用換元的思想轉化不等式，再求解集合解集，得出所求集合的解集，最后分類求解集合的綜合問題．

解答： 解：依題意，f （-1）=-f （1）=0，又f （x） 在 （0，+∞） 上是增函數，
∴f （x） 在 （-∞，0）上也是增函數，
∴由 f （x）＜0得x＜-1或0＜x＜1
∴N={m|f[g（θ）]＜0}={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，
M∩N={m|g（θ）＜-1}
由g（θ）＜-1得 sin²θ+m cos θ-2m＜-1⇒cos²θ-m cos θ+2m-2＞0 恒成立
⇒（cos²θ-m cos θ+2m-2）_min＞0
設t=cosθ，h（t）=cos²θ-m cos θ+2m-2=t²-mt+2m-2
=（t-

m

2

）²-

m2

4

+2m-2，∵cosθ∈[-1，1]⇒t∈[-1，1]，h（t） 的對稱軸為 t=

m

2

1° 當 

m

2

＞1，即 m＞2 時，h（t） 在[-1，1]為減函數
∴h（t）_min=h（1）=m-1＞0⇒m＞1⇒m＞2）
2° 當-1≤

m

2

≤1，即-2≤m≤2 時，
∴h（t）_min=h（ 

m

2

）=-

m2

4

+2m-2＞0⇒4-2

2

＜m＜4+2

2

⇒4-2

2

＜m≤2
3° 當 

m

2

＜-1，即 m＜-2 時，h（t） 在[-1，1]為增函數
∴h（t）_min=h（-1）=3m-1＞0⇒m＞

1

3

無解
綜上，m＞4-2

2

⇒M∩N={m|m＞4-2

2

另解：依題意，f （-1）=-f （1）=0，又f （x） 在 （0，+∞） 上是增函數，
∴f （x） 在 （-∞，0）上也是增函數，
∴由 f （x）＜0得x＜-1或0＜x＜1，
∴N={m|f[g（θ）]＜0}={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，
由g（θ）＜-1得 sin²θ+m cos θ-2m＜-1⇒cos²θ-m cos θ+2m-2＞0 恒成立
⇒（cos²θ-m cos θ+2m-2）_min＞0M∩N={m|g（θ）＜-1}由g（θ）＜-1得 sin²θ+m cos θ-2m＜-1⇒cos²θ-m cos θ+2m-2＞0 恒成立
⇒（cos²θ-m cos θ+2m-2）_min＞0
設t=cosθ，h（t）=cos²θ-m cos θ+2m-2=t²-mt+2m-2
=（t-

m

2

）²-

m2

4

+2m-2，∵cosθ∈[-1，1]⇒t∈[-1，1]，h（t） 的對稱軸為 t=

m

2

∵cosθ∈[]
綜上所得，m＞4-2

2

⇒M∩N={m|m＞4-2

2

}

點評：考查了函數的奇偶性，單調性，結合不等式解決問題，綜合考察解決問題的能力．