Question

已知點(diǎn)R（-3，0），點(diǎn)P在x軸的正半軸上，點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)M在直線(xiàn)PQ上，且滿(mǎn)足2

QM

+3

MP

=

0

，

PM

•

QM

=1．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=x+m（m∈R）與曲線(xiàn)C恒有公共點(diǎn)求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用直接法求點(diǎn)M的軌跡C的方程，先設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，用P點(diǎn)坐標(biāo)表示2

QM

+3

MP

=

0

，與

PM

•

QM

=1，再化簡(jiǎn)，就可得點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）直線(xiàn)l方程與（1）中所求點(diǎn)M的軌跡C的方程聯(lián)立，消y，得到關(guān)于x的一元二次方程，先找直線(xiàn)l：y=x+m（m∈R）與曲線(xiàn)C有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的值，結(jié)合圖象，就可求出直線(xiàn)l：y=x+m（m∈R）與曲線(xiàn)C恒有公共點(diǎn)時(shí)m的范圍．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），由2

QM

 +3

MP

=

0

，得P（

x

3

，0），Q（0，-

y

2

）
由

PM

 •

QM

=1得（

x

3

，0）•（0，-

y

2

）=1，
即

x2

3 2

+

y2

2 3

=1，
由于點(diǎn)P在x軸的正半軸上，所以x＞0，
故點(diǎn)M的軌跡C的方程為

x2

3 2

+

y2

2 3

=1（x＞0）
（2）由

x2 3 2 + y2 2 3 =1 y=x+m

得13x²+18mx+（9m²-6）=0，
△=（18m）²-4×13（9m²-6）=0得  m²=

13

6

，m=±

78

6

，
因?yàn)?span id="2x1ou3q" class="MathJye">

x2

3 2

+

y2

2 3

=1（x＞0）表示橢圓在y軸右邊部分．

橢圓

x2

3 2

+

y2

2 3

=1的上頂點(diǎn)B（0，

6

3

），
所以數(shù)形結(jié)合得-

78

6

≤m＜

6

3

所以m的取值范圍為[-

78

6

，

6

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直接法求曲線(xiàn)方程，以及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的判斷．