Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4，設(shè)曲線y=f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點為（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁為正實數(shù)．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）若x₁=4，記，證明數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（Ⅲ）若x₁=4，b_n=x_n-2，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，證明T_n＜3．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題可得f′（x）=2x．
所以曲線y=f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線方程是：y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n）．
即y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n）．
即x_n²+4=2x_nx_n+1．
顯然x_n≠0，∴．

（Ⅱ）由，知，
同理，故．
從而，即a_n+1=2a_n．所以，數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列．
故．
即．
從而
所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴
∴
當(dāng)n=1時，顯然T₁=b₁=2＜3．
當(dāng)n＞1時，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n==．
綜上，T_n＜3（n∈N*）．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知曲線y=f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線方程是y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
由此可知x_n²+4=2x_nx_n+1．所以．
（Ⅱ）由，知，同理．
故．由此入手能夠?qū)С?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/150707.png' />．
（Ⅲ）由題設(shè)知，所以，由此可知T_n＜3（n∈N*）．
點評：本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力．