Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，拋物線C：y²=2px以F₂為焦點(diǎn)且與橢圓相交于點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），直線F₁M與拋物線C相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程和點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若M、N兩點(diǎn)恒在該橢圓內(nèi)部，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距
所以橢圓焦點(diǎn)為F₁（-1，0）F₂（1，0）
又拋物線C的焦點(diǎn)為∴，∴C：y²=4x
∵M(jìn)（x₁，y₁）在拋物線C上，
∴y₁²=4x₁，直線F₁M的方程為
代入拋物線C得y₁²（x+1）²=4x（x₁+1）²，即4x₁（x+1）²=4x（x₁+1）²∴x₁x²-（x₁²+1）x+x₁=0，
∵F₁M與拋物線C相切，∴△=（x₁²+1）²-4x₁²=0，（6分）∴x₁=1，∴M、N的坐標(biāo)分別為（1，2）、（1，-2）．
（Ⅱ）∵M(jìn)、N兩點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，∴|F₁M|+|F₂M|＜2a
即，∴，
∴，
∵c=1，∴離心率，
又e＞0，∴橢圓離心率的取值范圍為
分析：（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距，所以橢圓焦點(diǎn)為F₁（-1，0）F₂（1，0），又拋物線C的焦點(diǎn)為，，由此能求出拋物線C的方程和點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．
（Ⅱ）由M、N兩點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，知|F₁M|+|F₂M|＜2a，，c=1，離心率，由此能導(dǎo)出橢圓離心率的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．