在△ABC中，已知
3
sin2B=1-cos2B．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若BC=2，A=
π
4
，求△ABC的面積．
（Ⅰ）解法一：因為
3
sin2B=1-cos2B．
所以 2
3
sinBcosB=2sin2B．                            …（3分）
因為 0＜B＜π，所以 sinB≠0，
從而 tanB=
3
，…（5分）
所以 B=
1
3
π．                                              …（6分）
解法二：依題意得 
3
sin2B+cos2B=1
所以 2sin(2B+
π
6
)=1，
即 sin(2B+
π
6
)=
1
2
．                                       …（3分）
因為 0＜B＜π，所以 
π
6
＜2B+
π
6
＜
13π
6
，
所以 2B+
π
6
=
5π
6
．                                        …（5分）
  所以 B=
1
3
π．                                             …（6分）
（Ⅱ）解法一：因為  A=
π
4
，B=
1
3
π．，
根據(jù)正弦定理得 
AC
sinB
=
BC
sinA
，…（7分）
所以 AC=
BCsinB
sinA
=
6
                                        …（8分）
因為 C=π-A-B=
5π
12
，…（9分）
所以 sinC=sin
5π
12
=sin(
π
4
+
π
6
)=
2
+
6
4
，…（11分）
所以△ABC的面積S=
1
2
AC•BCsinC=
3+
3
2
．                  …（13分）
解法二：因為 A=
π
4
，B=
1
3
π．，
根據(jù)正弦定理得 
AC
sinB
=
BC
sinA
，…（7分）
所以 AC=
BCsinB
sinA
=
6
                               …（8分）
根據(jù)余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB，…（9分）
化簡為 AB2-2AB-2=0，解得 AB=1+
3
．             …（11分）
所以△ABC的面積S=
1
2
AB•BCsinB=
3+
3
2
．                  …（13分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知∠ABC=45°，AB=
5
6
2
，D是BC邊上的一點，AD=5，DC=3，求AC的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•珠海一模）已知
a
=(sin(
π
2
+x)，cos(π-x))，
b
=(cosx，-sinx)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A為銳角，f（A）=1，BC=2，B=
π
3
，求AC邊的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•北京模擬）在△ABC中，已知∠A=
π
3
，邊BC=2
3
，設∠B=x，△ABC的周長為y．
（Ⅰ）若x=
π
4
，求邊AC的長；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并寫出它的定義域；
（Ⅲ）求函數(shù)y=f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知點A（5，-2），B（7，3），且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則直線MN的方程為（　　）
A、5x一2y一5=0B、2x一5y一5=0C、5x-2y+5=0D、2x-5y+5=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，|BC|=
3
，則AB=
 
．

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