Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求出f（x）最小值為3，從而3≥a，即可求實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為x-2+x+1＞4，即x＞2.5；
當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，原不等式可化為2-x+x+1＞4，此時(shí)無(wú)解；
當(dāng)x＜-1時(shí)，原不等式可化為2-x-x-1＞4，即x＜-1.5，
綜上所述，原不等式的解集是{x|x＜-1.5或x＞2.5}．…（5分）
（Ⅱ）由絕對(duì)值的性質(zhì)得f（x）=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）-（x+1）|=3，
所以f（x）最小值為3，從而3≥a，解得a≤3，
因此a的最大值為3．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．