Question

已知f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d∈R）
命題p：y=f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)；
命題q：y=f（x）的圖象與x軸恰有一個交點；
則p是q的（　　）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：利用導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，說明函數(shù)與x軸的交點以及極值的存在性關(guān)系，推出兩個命題的充要條件關(guān)系．

解答：解：已知f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d∈R）
所以f′（x）=3x²+2bx+c（b，c∈R）．
命題p：y=f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，此時函數(shù)沒有極值，是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，
所以，y=f（x）的圖象與x軸恰有一個交點．
所以命題p：y=f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)是命題q：y=f（x）的圖象與x軸恰有一個交點的充分條件．
反之命題q：y=f（x）的圖象與x軸恰有一個交點但是函數(shù)可以有極值，函數(shù)在R上不是單調(diào)函數(shù)，
所以p是q充分不必要條件．
故選A．

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系，充要條件的判定，考查邏輯推理能力．