Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=-n²，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b₁=2，b_n+1=3b_n-t（n-1），已知a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n）對(duì)任意n∈N^*都成立
（1）求t的值；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n²+a_nb_n}的前n項(xiàng)的和為T(mén)_n，問(wèn)是否存在互不相等的正整數(shù)m，k，r，使得m，k，r成等差數(shù)列，且T_m+1，T_k+1，T_r+1成等比數(shù)列？若存在，求出m，k，r；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用公式當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1即可求得a_n，由a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n）可得數(shù)列{a_n+b_n}是等比數(shù)列，進(jìn)而求得b_n，
再由b_n+1=3b_n-t（n-1），對(duì)任意n∈N^*都成立，即可求得t值；
（2）利用反證法，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列求和方法錯(cuò)位相減法即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=-n²+（n-1）²=1-2n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=-1，滿(mǎn)足上式，
∴a_n=1-2n（n∈N^*）
又∵a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n）對(duì)任意n∈N^*都成立，b₁=2，
∴a₁+b₁=（1-2）+2=1，
∴a_n+b_n≠0，∴

an+1+bn+1

an+bn

=3，
∴數(shù)列{a_n+b_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n+b_n=3^n-1，∴b_n=3^n-1-（1-2n）=3^n-1+2n-1，
∵b_n+1=3b_n-t（n-1），
∴3ⁿ+2n+1=3（3^n-1+2n-1）-t（n-1），
∴（t-4）（n-1）=0對(duì)任意n∈N^*都成立，
∴t=4．
（2）由（1）得a_n²+a_nb_n=a_n（a_n+b_n）=（1-2n）•3^n-1，
∴T_n=-1-3×3-5×3²-7×3³-…-（2n-1）•3^n-1，①
3T_n=-1×3-3×3²-5×3³-…-（2n-1）•3ⁿ，②
②-①得，
2T_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ
=1+2×

3-3n

1-3

-（2n-1）•3ⁿ=2（1-n）•3ⁿ-2，
∴T_n=（1-n）•3ⁿ-1，
∴T_n+1=（1-n）•3ⁿ．
∴若存在互不相等的正整數(shù)m，k，r，使得m，k，r成等差數(shù)列，且T_m+1，T_k+1，T_r+1成等比數(shù)列，
則（T_k+1）²=（T_m+1）（T_r+1）即（1-k）²•3^2k=（1-m）（1-r），即k²-2k+1=mr-（m+r）+1，
∴k²=mr即（

m+r

2

）²=mr，即（m-r）²=0，∴m=r，
這與m≠r相矛盾，
∴不存在滿(mǎn)足條件的正整數(shù)m，k，r．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列前n項(xiàng)和的求法知識(shí)，考查學(xué)生恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化求解能力及運(yùn)算能力，綜合性、邏輯性強(qiáng)，屬難題．