Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且m=（a、b），n=（cosA、cosB），P=（2

2

sin

B+C

2

，2sinA），若m∥n，p²=9，試判斷三角形的形狀．

Answer 1

分析：根據(jù)向量平行時(shí)，向量的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件得到一個(gè)關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)此關(guān)系式得到sin（A-B）的值等于0，根據(jù)A與B為三角形的內(nèi)角，得到A等于B，又利用模的計(jì)算法則表示出

P

的平方，讓其等于9，利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)后，得到cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，即可得到B的度數(shù)，進(jìn)而得到C的度數(shù)，即可判斷三角形ABC的形狀．

解答：解：∵

m

∥

n

，
∴

a

cosA

=

b

cosB

即acosB-bcosA=0，由正弦定理得：sinAcosB-cosAsinB=0，
∴sin（A-B）=0，∴A=B，
∵

P

=（2

2

sin

B+C

2

，2sinA）且

P

²=|

P

|2=9，又

B+C

2

=

π

2

-

A

2

，
∴(2

2

cos

A

2

) 2+（2sinA）²=9，即8cos2

A

2

+4sin²A=9，
化簡(jiǎn)得：cosA=

1

2

，由A∈（0，π），得到A=

π

3

，
∴A=B=C=

π

3

，
∴△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是向量和三角函數(shù)相結(jié)合的題目，既考查了向量的基本知識(shí)，又考查了三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，三角形的形狀既可由角確定，又可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來(lái)判斷三角形的形狀．