選修4-1:幾何證明選講

如圖所示，AB是⊙O的直徑，

G為AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點(

G作AB的垂線，交AC的延長線于點E，交AD的延

長線于點F，過G作⊙O的切線，切點為H .

求證：（Ⅰ）C，D，F(xiàn)，E四點共圓；

（Ⅱ）GH2=GE·GF.

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 （Ⅰ）連接BC.

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG.

∴∠FDC+∠CEF=180°.

∴C，D，F(xiàn)，E四點共圓. …………5分

（Ⅱ）∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，

∴GH2=GC·GD.

由C，D，F(xiàn)，E四點共圓，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD.∴=，

即GC·GD=GE·GF， 

∴CH2=GE·GF. ………… 10分

 

練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)A．（選修4-4坐標系與參數(shù)方程）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線ρsin(θ+
π3
)=4的距離的最小值是
 
．
B．（選修4-5不等式選講）不等式|x-log2x|＜x+|log2x|的解集是
 
．
C．（選修4-1幾何證明選講）如圖所示，AC和AB分別是圓O的切線，且OC=3，AB=4，延長AO到D點，則△ABD的面積是
 
．

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（2012•石家莊一模）選修4-1幾何證明選講
已知△ABC中AB=AC，D為△ABC外接圓劣弧，
AC
上的點（不與點A、C重合），延長BD至E，延長AD交BC的延長線于F．
（I）求證．∠CDF=∠EDF
（II）求證：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

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（2013•遼寧）（選修4-1幾何證明選講）
如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，連接AE，BE，證明：
（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF2=AD•BC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（A）（選修4-4坐標系與參數(shù)方程）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線ρsin(θ+
π
3
)=4的距離的最小值是
5
2
5
2
．
（B）（選修4-5不等式選講）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，則
x+2y
xy
的最小值是
9
9
．
（C）（選修4-1幾何證明選講）若直角△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點D，且AD=1，BD=2，則△ABC的面積為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•南京模擬）A．選修4-1幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．
求證：ED2=EB•EC．
B．矩陣與變換
已知矩陣A=
2-1
-43
，
4-1
-31
，求滿足AX=B的二階矩陣X．
C．選修4-4 參數(shù)方程與極坐標
若兩條曲線的極坐標方程分別為ρ=1與ρ=2cos（θ+
π
3
），它們相交于A，B兩點，求線段AB的長．
D．選修4-5 不等式證明選講設a，b，c為正實數(shù)，求證：a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3
．

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