Question

（2012•貴陽(yáng)模擬）在△ABC中，tanA=

2

3

，tanB=

1

5

．
（1）求角C的大小；
（2）如果△ABC的最大邊長(zhǎng)為

13

，求最小的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩角和的正切公式，得到tan（A+B）=1，結(jié)合三角形內(nèi)角和與正切的誘導(dǎo)公式，得tanC=-1，可得角C的大��；
（2）因?yàn)殇J角A、B滿足tanA＞tanB，所以B為最小角，AC邊為最小邊．根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，算出sinB=

26

26

，結(jié)合正弦定理，即可算出最小的邊AC長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵tanA=

2

3

，tanB=

1

5

，∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

2 3 + 1 5

1- 2 3 × 1 5

=1，
∵C=π-（A+B），∴tanC=-tan（A+B）=-1．'
又∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

．
（2）∵C=

3π

4

＞

π

2

，∴AB邊最大，即AB=

13

，
又∵tanA＞tanB，A，B∈（0，

π

2

），
所以B為最小角，AC邊為最小邊．
∵

tanB= sinB cosB = 1 5 cos2B+sin2B=1

且B∈（0，

π

2

），
∴sinB=

26

26

（舍負(fù)）．
由

AB

sinC

=

AC

sinB

，得AC=

ABsinB

sinC

=

13 • 26 26

2 2

=1．
因此，最小的邊AC=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC兩個(gè)內(nèi)角的正切值，求第三個(gè)角的大小并且在已知最大邊情況下求最小邊．考查了兩角和的正切公式、正弦定理、誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．