Question

在等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB中點(diǎn)，CD=2，AB=4，AD=BC=

2

．沿EF將梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，如圖．
（Ⅰ）若G為FB的中點(diǎn)，求證：AG⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求二面角C-AB-F的正切值．

Answer 1

分析：（I）由已知AF=BF，∠AFB=60°，G為FB的中點(diǎn)，可得AG⊥FB①再由E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，可得EF⊥AB，于是EF⊥AF，EF⊥BF，則EF⊥平面ABF，進(jìn)而可得AG⊥EF②，結(jié)合①②根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可證AG⊥平面BCEF
（II）（法一：三垂線(xiàn)法）利用梯形的知識(shí)可得CG∥EF，由已知易證EF⊥面ABF，從而可得CG⊥面ABF，考慮利用三垂線(xiàn)法，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于H，連接CH，據(jù)三垂線(xiàn)定理可得∠CHG為二面角C-AB-F的平面角．在Rt△BHG中求解∠CHG
（法二：空間向量法）結(jié)合題中的條件，可考慮分別以FB、FE為x、y、軸，以過(guò)F且垂直于面FBCE的直線(xiàn)為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，借助于坐標(biāo)系找出平面ABCD的一個(gè)法向量

n1

，平面ABF的一個(gè)法向量

n2

，代入公式cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

可求

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)锳F=BF，∠AFB=60°，△AFB為等邊三角形．
又G為FB的中點(diǎn)，所以AG⊥FB．（2分）
在等腰梯形ABCD中，因?yàn)镋、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，
所以EF⊥AB．于是EF⊥AF，EF⊥BF，則EF⊥平面ABF，
所以AG⊥EF．（4分）
又EF與FB交于一點(diǎn)F，所以AG⊥平面BCEF．（5分）

（Ⅱ）解法一：連接CG，因?yàn)樵诘妊�梯形ABCD中，
CD=2，AB=4，E、F分別是CD、AB中點(diǎn)，
所以EC=FG=BG=1，從而CG∥EF．
因?yàn)镋F⊥面ABF，所以CG⊥面ABF．（7分）
過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于H，連接CH，據(jù)三垂線(xiàn)定理有CH⊥AB，
所以∠CHG為二面角C-AB-F的平面角．（9分）
因?yàn)镽t△BHG中，BG=1，∠GBH=60°，所以GH=

3

2

．（10分）
在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG=1，BC=

2

，所以CG=1．（11分）
在Rt△CGH中，tan∠CHG=

CG

GH

=

2 3

3

，故二面角C-AB-F的正切值為

2 3

3

．（12分）
解法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，
點(diǎn)B（2，0，0），A（1，0，

3

），C（1，1，0）．（7分）
因?yàn)镋F⊥平面ABF，所以

n1

=（0，1，0）為
平面ABF的一個(gè)法向量．（8分）
設(shè)

n2

=（x，y，z）為平面ABCD的法向量，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AB

=(1，0，-

3

)，

CB

=(1，-1，0)，
由

n2

⊥

AB

，

n2

⊥

CB

，得

n2 • AB =0 n2 • CB =0

，即

x- 3 z=0 x-y=0

．
令x=

3

，則y=

3

，z=1，所以

n2

=（

3

，

3

，1）．（10分）
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

21

7

．（11分）
從而tan＜

n1

，

n2

＞=

2 3

3

，故二面角C-AB-F的正切值為

2 3

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線(xiàn)面關(guān)系中的垂直關(guān)系：線(xiàn)面垂直的判定的運(yùn)用、二面角的度量：二面角的平面角的作法①三垂線(xiàn)法，②利用空間向量轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角，要求考生具備一定的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．