已知二次函數(shù)f（x）=ax2+2x+c的值域是[0，+∞），那么
c
a2+1
+
a
c2+1
的最小值是（　�。�
分析：利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得ac=1，且a和c都是正數(shù)，把要求的式子化為（a+c）-
2 
(a+c)
，故當(dāng)a+c最小時(shí)，（a+c）-
2 
(a+c)
 最小為1，由基本不等式求得a+c的最小值為2，由此求得
c
a2+1
+
a
c2+1
的最小值．
解答：解：：∵二次函數(shù)f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），
∴a＞0，△=4-4ac=0，
∴a＞0，c＞0，ac=1．
故
c
a2+1
+
a
c2+1
=
c
a(a+c)
+
a
c(a+c)
=
a2+c2 
ac(a+c)
=
(a+c)2-2ac 
(a+c)
=（a+c）-
2 
(a+c)
，
故當(dāng)a+c最小時(shí)，（a+c）-
2 
(a+c)
 最�。�
而a+c≥2
ac
=2，故當(dāng)a+c=2時(shí)，
c
a2+1
+
a
c2+1
=（a+c）-
2 
(a+c)
 最小為2-1=1，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且滿(mǎn)足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a．問(wèn)：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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