Question

4．函數(shù)f（1og₂x）=x-$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）若實(shí)數(shù)m滿足：f（1-m）+f（1-m²）＜0．求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法求f（x）的解析式；
（2）利用奇函數(shù)的定義證明：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，結(jié)合f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍．

解答 （1）解：設(shè)t=1og₂x，則x=2^t，
∴f（t）=2^t-2^-t，
∴f（x）=2^x-2^-x；
（2）證明：∵f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）解：∵f（x）=2^x-2^-x，
∴f（x）=2^x-2^-x是增函數(shù)，
∵實(shí)數(shù)m滿足：f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜f（-1+m²），
∴1-m＜-1+m²，
∴m²+m-2＞0，
∴m＜-1或m＞2．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．