Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=n+

2m

2m-1

an-

2m+1

2m-1

，其中m是與n無關(guān)的常數(shù)，且m≠0，n∈N^*．
（I）證明：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（II）設(shè)b_n=3n+1-a_n，當(dāng)m≥2時(shí)，求數(shù)列{b_n}的最大值f（m），并求f（m）的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用已知所給的遞推公式及a_n+1=S_n+1-S_n可得得an+1=1+

2m

2m-1

an+1-

2m

2m-1

an，整理可得，

an+1-1

an-1

=2m及a₁=2^m+1，可證
（II））由（I）得a_n=2^mn+1由b_n=3n+1-a_n=3n-2^mn，可得b_n+1=3（n+1）-2^m（n+1），從而可得b_n+1-b_n=3-2^mn（2^m-1）由m≥2，可得2^m-1≥3，2^mn＞1，即b_n+1＜b_n對n∈N^*恒成立，f（m）=b₁=3-2^m，從而可求f（m）_max

解答：解：（I）因?yàn)?span id="8ftqhca" class="MathJye">Sn=n+

2m

2m-1

an-

2m+1

2m-1

①
所以Sn+1=n+1+

2m

2m-1

an+1-

2m+1

2m-1

②（2分）
由②-①，得an+1=1+

2m

2m-1

an+1-

2m

2m-1

an
化簡得，

an+1-1

an-1

=2m，（6分）
又n=1時(shí)，a₁=2^m+1，（7分）
所以{a_n-1}是以a₁=2^m+1為首項(xiàng)，2^m為公比的等比數(shù)列．（8分）
（II）由（I）得a_n=2^mn+1，（9分）
因?yàn)閎_n=3n+1-a_n=3n-2^mn，
所以b_n+1=3（n+1）-2^m（n+1），
因此b_n+1-b_n=3-2^mn（2^m-1），（11分）
因?yàn)閙≥2，所以2^m-1≥3，2^mn＞1，
所以b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n對n∈N^*恒成立，
所以f（m）=b₁=3-2^m，（14分）
從而f（m）_max=3-4=-1．（16分）
（若設(shè)f（x）=3x-（2^m）^x，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)為減函數(shù)同樣得滿分．）

點(diǎn)評：（1）利用定義

an

an-1

=q是證明數(shù)列為等比數(shù)列的常用方法，另外等比數(shù)列的等比中項(xiàng)法的應(yīng)用也要主要掌握．
（2）利用作差法證明數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)而求解數(shù)列的最值問題是解決此題的關(guān)鍵．