Question

在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）為R上的凹函數(shù)．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求證：a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）為凹函數(shù)；
（Ⅱ）如果x∈（0，1]時(shí)，|f（x）|≤1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)凹函數(shù)的定義有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為

a≤ 1 x2 - 1 x -a≤ 1 x2 + 1 x

在

1

x

≥1時(shí)恒成立．從而求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵f（x）=ax²+x（a∈R且a≠0），
∴對(duì)任意x₁，x₂∈R，有

f(x1)+f(x2)-2f( x1+x2 2 )=a x 2 1 +x1+a x 2 2 +x2-2[a( x1+x2 2 )2+ x1+x2 2 ] = 1 2 a( x 2 1 ++ x 2 2 -2x1x2)= 1 2 a(x1-x2)2≥0(∵a＞0)

∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]
故函數(shù)f（x）=ax²+x（a＞0）為R上的凹函數(shù)
（Ⅱ）∵x∈（0，1]時(shí)，|f（x）|≤1恒成立，∴x∈（0，1]時(shí)，-1≤ax²+x≤1恒成立．
∵0＜x≤1，∴

1

x

≥1，問題轉(zhuǎn)化為

a≤ 1 x2 - 1 x -a≤ 1 x2 + 1 x

在

1

x

≥1時(shí)恒成立．
∵

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

在

1

x

=1時(shí)取得最小值0，∴a≤0，
又∵

1

x2

+

1

x

=(

1

x

+

1

2

)2-

1

4

在

1

x

=1時(shí)取得最小值2，
∴-a≤2，即a≥-2，
又a≠0，故a∈[-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查新定義問題，考查不等式的問題，本題屬于中檔題．