Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

． 
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求幾何體E-ACD的體積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由等腰三角形三線合一，可得AO⊥BD，CO⊥BD，再勾股定理可得AO⊥OC，進而根據(jù)線面垂直的判定定理得到AO⊥平面BCD；
（2）根據(jù)等積法可得V_E-ACD=V_A-CDE，結(jié)合（1）中結(jié)論，可得AO即為棱錐的高，代入棱錐的體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）連接OC
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．…（2分）
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC．…（5分）
又AO⊥BD，BD∩OC=O，BD，OC?平面BCD
∴AO⊥平面BCD…（7分）
解：（2）∵V_E-ACD=V_A-CDE，
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
而AO=1，S△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，…（12分）
∴VE-ACD=VA-ECD=

1

3

AO．S△CDE═

3

6

．…（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積公式，熟練掌握空間直線與直線垂直與直線與平面垂直相互之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系是解答的關(guān)鍵．