Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的極大值．
（Ⅱ）求證：存在x∈（1，+∞），使；
（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)f（x）與h（x）定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)f（x）與h（x）的分界線．試探究函數(shù)f（x）與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請(qǐng)給予證明，并求出k，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)g（x）的極大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，構(gòu)造新函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）與h（x）的圖象在處有公共點(diǎn)（），設(shè)f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：．…（1分）
令g′（x）＞0，解得0＜x＜1；令g′（x）＜0，解得x＞1．…（2分）
∴函數(shù)g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．…（3分）
所以g（x）的極大值為g（1）=-2．…（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
令，∴，…（5分）
取x′=e＞1，則=．…（6分）
故存在x∈（1，e），使φ（x）=0，即存在x∈（1，+∞），使．…（7分）
（說明：x′的取法不唯一，只要滿足x′＞1，且φ（x′）＜0即可）
（Ⅲ）解：設(shè)，則
則當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增．
∴是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
∴．
∴函數(shù)f（x）與h（x）的圖象在處有公共點(diǎn)（）．…（9分）
設(shè)f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為，
令函數(shù)
①由h（x）≥u（x），得在x∈R上恒成立，
即在x∈R上恒成立，
∴，
即，
∴，故．…（11分）
②下面說明：f（x）≤u（x），
即恒成立．
設(shè)
則
∵當(dāng)時(shí)，V′（x）＞0，函數(shù)V（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，V′（x）＜0，函數(shù)V（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，V（x）取得最大值0，V（x）≤V（x）_max=0．
∴成立．…（13分）
綜合①②知，且，
故函數(shù)f（x）與h（x）存在“分界線”，
此時(shí)．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．