Question

一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，E為側(cè)棱PC上一動(dòng)點(diǎn)．
（I）畫出該四棱錐的直觀圖，并求它的側(cè)面積
（II）取PC中點(diǎn)E，求證：PA∥面EBD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三視圖分析，可得該四棱錐是底面由兩個(gè)全等正三角形拼成的菱形，頂點(diǎn)P在底面的射影是菱形的中心O，由此不難得出該四棱錐的直觀圖．利用線面垂直的性質(zhì)和勾股定理，算出PA=AB=2且PB=

2

，結(jié)合正余弦定理可算出△PAB的面積，進(jìn)而可得該四棱錐的側(cè)面積．
（2）連接OE，可得OE是△PAC的中位線，得OE∥PA，由線面平行的判定定理，可得出PA∥面EBD．

解答：解：（1）由俯視圖可該四棱錐的底面是邊長為2且銳角為60°的菱形，由正視圖和側(cè)視圖，
可得該四棱錐的高恰好是頂點(diǎn)P與底面中心O的連線，且高長等于1
由此可得，它的直觀圖如下，

∵△PAB中，PA=

PO2+OA2

=2，PB=

PO2+BO2

=

2

∴cos∠PAB=

22+22-( 2 )2

2×2×2

=

3

4

，得sin∠PAB=

1-( 3 4 )2

=

7

4

由正弦定理，得S_△PAB=

1

2

×PA×ABsin∠PAB=

7

2

同理可得：S_△PBC=S_△PCD=S_△PAD=

7

2

∴該四棱錐的側(cè)面積為S=

7

2

×4=2

7

（2）設(shè)O為AC、BD的交點(diǎn)，即為底面菱形ABCD的中心，連接OE
∵△PAC中，O、E分別為AC、PC的中點(diǎn)
∴OE∥PA
∵OE?平面EBD，PA?平面EBD
∴PA∥面EBD．

點(diǎn)評(píng)：本題給出四棱錐的三視圖，求它的直觀圖并求側(cè)面積，證明了直線與平面平行，著重考查了線面平行的判定定理、三視圖的理解和利用正余弦定理求三角表面積等知識(shí)，屬于中檔題．