Question

若a₁≤a₂≤…≤a_n，而b₁≥b₂≥…≥b_n或a₁≥a₂≥…≥a_n而b₁≤b₂≤…≤b_n，證明：

a1b1+a2b2+…+anbn

n

≤（

a1+a2+…+an

n

）•（

b1+b2+…+bn

n

）．當且僅當a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n時等號成立．

Answer 1

分析：利用排序原理，n個式子相加，可得得：n（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）≤（a₁+a₂+…+a_n）（b₁+b₂+…+b_n），兩邊除以n²，即可得到結論．

解答：證明　不妨設a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≥b₂≥…≥b_n．
則由排序原理得：
a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤a₁b₂+a₂b₃+…+a_nb₁
a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤a₁b₃+a₂b₄+…+a_n-1b₁+a_nb₂
…
a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤a₁b_n+a₂b₁+…+a_nb_n-1．
將上述n個式子相加，得：n（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）
≤（a₁+a₂+…+a_n）（b₁+b₂+…+b_n）
上式兩邊除以n²，得：

a1b1+a2b2+…+anbn

n

≤(

a1+a2+…+an

n

)(

b1+b2+…+bn

n

)
等號當且僅當a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n時成立．

點評：本題考查排序原理，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．