Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，b_k=

a1+a2+…+ak

k

（k∈N₊）．
（1） 求證：數(shù)列{ b_n} 也是等差數(shù)列；
（2） 若a₁=-2，

a1+a2+…+a13

b1+b2+…+b13

=

3

2

，求數(shù)列{a_n}、{b_n} 的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公差d，寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式，把前n項(xiàng)和的公式代入
b_k=

a1+a2+…+ak

k

中，化簡(jiǎn)后得到b_n的通項(xiàng)公式，并求得b_n+1-b_n為常數(shù)，所以得到數(shù)列{ b_n} 也是等差數(shù)列；
（2）分別根據(jù)兩數(shù)列的首項(xiàng)和公差，寫出兩數(shù)列的前n項(xiàng)和的通項(xiàng)公式，代入已知的條件

a1+a2+…+a13

b1+b2+…+b13

=

3

2

中，化簡(jiǎn)后把a(bǔ)₁=-2代入得到關(guān)于d的方程，求出方程的解即可得到d的值，然后根據(jù)首項(xiàng)-2和求出的d即可寫出兩數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）設(shè)a_n=a₁+（n-1）d，則bn=

na1+ n(n-1) 2 d

n

=(a1-

d

2

)+

nd

2

，
又bn+1-bn=

d

2

，
所以{b_n}是以a₁為首項(xiàng)，

d

2

為公差的等差數(shù)列；
（2）因?yàn)閎_n=a₁+

n-1

2

d，且a₁=-2，
則

a1+a2+…+a13

b1+b2+…+b13

=

13(-4+12d) 2

13(-4+6d) 2

=

-2+6d

-2+3d

=

3

2

，即-4+12d=-6+9d，
解得d=-

2

3

，
∴an=-

2

3

n-

4

3

，bn=-

1

3

n-

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．