Question

已知函數(shù)f(x)=lg(x+

a

x+1

-1)，其中a是大于零的常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a∈（1，4）時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）若?x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）、函數(shù)f（x）的定義域要求）x+

a

x+1

-1＞0，

x2+a-1

x+1

＞0，解這個(gè)分式不等式時(shí)，因?yàn)楹�有參�?shù)a，所以要分類討論．
（2）、令g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2，當(dāng)a∈（1，4）時(shí)，由函數(shù)f（x）的定義域可知x+1＞0，從而利用均值不等式求出函數(shù)f（x）的最小值．
（3）、由題設(shè)條件可知，x+

a

x+1

-1＞1，

a

x+1

＞2-x，能推導(dǎo)出a＞（2-x）（x+1）恒成立，從而推導(dǎo)出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）x+

a

x+1

-1＞0，

x2+a-1

x+1

＞0，
因?yàn)閍＞0，故當(dāng)a＞1時(shí)，定義域?yàn)椋?1，+∞）；
當(dāng)a=1時(shí)，定義域?yàn)椋?1，0）∪（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，定義域?yàn)?span id="m24qm2e" class="MathJye">(-1，-

1-a

)∪(

1-a

，+∞)．
（2）令g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2，
當(dāng)a∈（1，4）時(shí)，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，
所以g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2≥2

a

-2，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=

a

x+1

即x=

a

-1時(shí)等號(hào)成立．
故f（x）的最小值為lg(2

a

-2)．
（3）?x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，
即x+

a

x+1

-1＞1，

a

x+1

＞2-x，又x∈[0，+∞），
則a＞（2-x）（x+1），a＞-x²+x+2恒成立，故a＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合題，難度較大，在解第（1）題時(shí)要注意對(duì)參數(shù)a進(jìn)行妥類討論，解第（2）題時(shí)要注意均值不等式的合理運(yùn)用，解第（3）題時(shí)要進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化．