Question

設(shè)a為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出零點(diǎn)．（Ⅲ）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，|f'（x）|≤1，試求a的最大值，并求a取得最大值時(shí)f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把a(bǔ)=2代入，利用絕對(duì)值的意義將函數(shù)化簡(jiǎn)為分段函數(shù)，再對(duì)每一段利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱軸的關(guān)系求出每一段的單調(diào)區(qū)間，最后綜合即可求出整個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論a的正負(fù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極小值與0進(jìn)行比較，進(jìn)行分別判定函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x|x-2|-2=

x2-2x-2，x≥2 -x2+2x-2，x＜2

，
①當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（-∞，1）上單調(diào)遞增；
綜上所述，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2）．
（Ⅱ）（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為x₀=0；（5分）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)=x|x-a|-a=

x2-ax-a，x≥a -x2+ax-a，x＜a

，（6分）
故當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=(x-

a

2

)2-

a2

4

-a，二次函數(shù)對(duì)稱軸x=

a

2

＜a，
∴f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，f（a）＜0；（7分）
當(dāng)x＜a時(shí)，f(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-a，二次函數(shù)對(duì)稱軸x=

a

2

＜a，
∴f（x）在(

a

2

，a)上單調(diào)遞減，在(-∞，

a

2

)上單調(diào)遞增；（8分）
∴f（x）的極大值為f(

a

2

)=-(

a

2

)2+a×

a

2

-a=

a2

4

-a，1°當(dāng)f(

a

2

)＜0，即0＜a＜4時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸只有唯一交點(diǎn)，即唯一零點(diǎn)，
由x²-ax-a=0解之得
函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為x0=

a+ a2+4a

2

或x0=

a- a2+4a

2

（舍去）；
（10分）2°當(dāng)f(

a

2

)=0，即a=4時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩個(gè)零點(diǎn)，分別為x₁=2
和x2=

a+ a2+4a

2

=2+2

2

；（11分）3°當(dāng)f(

a

2

)＞0，即a＞4時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，
由-x²+ax-a=0解得，x=

a± a2-4a

2

，
∴函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為x=

a± a2-4a

2

和x0=

a+ a2+4a

2

．（12分）
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為0；
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)為

a+ a2+4a

2

；
當(dāng)a=4時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)2和2+2

2

；
當(dāng)a＞4時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)

a± a2-4a

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查通過(guò)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值；注意函數(shù)中若含參數(shù)一般需要討論．