Question

函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b∈R．若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的定義域，要使原函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)恒大于等于0或恒小于等于0，原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的分母恒大于0，只需分析分子的二次三項(xiàng)式恒大于等于0或恒小于等于0即可，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，且對(duì)稱軸在定義域范圍內(nèi)，所以二次三項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上，只有其對(duì)應(yīng)二次方程的判別式小于等于0時(shí)導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，由此解得b的取值范圍．

解答：解：由x+1＞0，得x＞-1，所以函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
再由f（x）=x²+bln（x+1），得：f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

，
要使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f^′（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，
因?yàn)閤+1＞0，
令g（x）=2x²+2x+b，則g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，
函數(shù)g（x）開口向上，且對(duì)稱軸為x=-

1

2

，所以只有當(dāng)△=2²-4×2b≤0，即b≥

1

2

時(shí)g（x）≥0恒成立．
所以，使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)的b的取值范圍是[

1

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，說明函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)恒大于等于0或恒小于等于0．此題是中檔題．