Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

1

n(n+1)

，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，若S_n≤

199

220

，則n的最大值是

9

．

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)可知利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

可求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，然后根據(jù)S_n≤

199

220

可求出n的最大值．

解答：解：∵a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

，
∵S_n≤

199

220

，
∴1-

1

n+1

≤

199

220

，解得n≤

199

21

，
∴n的最大值是9．
故答案為：9．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，解題的關(guān)鍵是a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，注意哪些項(xiàng)保留，哪些項(xiàng)消去，屬于基礎(chǔ)題．