Question

設函數f（x）=px-2lnx．
（1）若p＞0，求函數f（x）的最小值；
（2）若函數g（x）=f（x）-在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）=px-2lnx求導，通過列表即可求得函數f（x）的最小值；
（2）由g（x）=f（x）-=px--2lnx，可求得g′（x）=，依題意，對參數p分p=0，p＞0與p＜0討論，利用函數恒成立問題即可求得各自情況下p的范圍，從而可得P的取值范圍．
解答：解：（1）∵f′（x）=p-=，令f′（x）=0，得x=．
∵p＞0，列表如下，

從上表可以得，當x=時，f（x）有極小值2-2ln．（4分）
又此極小值也為最小值，所以當x=時，f（x）有最小值2-2ln．（5分）
（2）因為g（x）=f（x）-=px--2lnx，則g′（x）=p+-=，
由函數g（x）=f（x）-在其定義域內為單調函數得，g′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立或g′（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立．
①當p=0時，g′（x）=-＜0對x∈（0，+∞）恒成立（7分）
此時g（x）在其定義域內為減函數，滿足要求．
②當p＞0時，g′（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立不可能，
由g′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立得px²-2x+p≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即p≥對x∈（0，+∞）恒成立，
∵當x∈（0，+∞）時，=≤1，
∴p≥1（9分）
③當p＜0時，g′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立不可能，
由g′（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立得px²-2x+p≤0對x∈（0，+∞）恒成立，即p≤對x∈（0，+∞）恒成立，
∵當x∈（0，+∞）時，＞0，
∴p≤0；
又∵p＜0，
∴此時p＜0．（11分）
綜上所述，P的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）．．（12分）
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查導數在最大值、最小值問題中的綜合應用，考查分類討論思想與化歸思想的綜合應用，考查分析、邏輯推理與綜合運算能力，屬于難題．