Question

甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽行約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為P（P＞

1

2

），且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為

5

9

．若圖為統(tǒng)計(jì)這次比賽的局?jǐn)?shù)n和甲、乙的總得分?jǐn)?shù)S、T的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入a=1，b=0；如果乙獲勝，則輸入a=0，b=1．
（Ⅰ）在圖中，第一、第二兩個(gè)判斷框應(yīng)分別填寫(xiě)什么條件？
（Ⅱ）求P的值；
（Ⅲ）求比賽到第4局時(shí)停止的概率P₄，以及比賽到第6局時(shí)停止的概率p₆．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)規(guī)則，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止，而這2個(gè)條件框是用來(lái)終止運(yùn)算的，由此可得程序框圖中的第一個(gè)條件框和第二個(gè)條件框應(yīng)填的條件．
（Ⅱ）依題意可得 P²+（1-P）²=

5

9

，再由P＞

1

2

，求得P的值．
（Ⅲ）設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠�，則一輪結(jié)束，比賽終止的概率為

5

9

，比賽沒(méi)有終止的概率為

4

9

．故比賽到第4局時(shí)停止的概率P₄ =（1-

5

9

）×

5

9

，p₆=（1-

5

9

）×（1-

5

9

）×1，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)規(guī)則，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止，
而這2個(gè)條件框是用來(lái)終止運(yùn)算的，
故程序框圖中的第一個(gè)條件框應(yīng)填M=2，第二個(gè)應(yīng)填n=6．
注意：答案不唯一．如：第一個(gè)條件框填M＞1，第二個(gè)條件框填n＞5，或者第一、第二條件互換，都可以．
（Ⅱ）依題意，當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí)，第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽結(jié)束．
故有 P²+（1-P）²=

5

9

，解得 P=

2

3

，或 P=

1

3

．
再由P＞

1

2

，可得P=

2

3

．
（Ⅲ）設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠�，則由題意可得，一輪結(jié)束時(shí)，比賽終止的概率為

5

9

，
若比賽到第4局時(shí)停止，說(shuō)明第一輪比賽中甲乙二人各的一分，此時(shí)，
該輪比賽的結(jié)果對(duì)下一輪比賽是否停止沒(méi)有影響．
故比賽到第4局時(shí)停止的概率P₄ =（1-

5

9

）×

5

9

=

20

81

，
比賽到第6局時(shí)停止的概率p₆=（1-

5

9

）×（1-

5

9

）×1=

16

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的事件與它的對(duì)立事件概率間的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．