Question

6．已知下列四個命題：p₁：若f（x）=2^x-2^-x，則?x∈R，f（-x）=-f（x）；p₂：若函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，x≥0\\（{a+2}）{e^{ax}}，x＜0\end{array}\right.$為R上的單調函數，則實數a的取值范圍是（0，+∞）；p₃：若函數f（x）=xlnx-ax²有兩個極值點，則實數a的取值范圍是$（{0，\frac{1}{2}}）$；p₄：已知函數f（x）的定義域為R，f（x）滿足$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[{0，1}）\\ 2-{x^2}，x∈[{-1，0}）\end{array}\right.$且f（x）=f（x+2），$g（x）=\frac{2x+5}{x+2}$，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上所有實根之和為-7．其中真命題的個數是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 p₁：根據奇函數的定義判定即可；
p₂：求出函數的導數，通過討論a的范圍結合函數的單調性求出a的范圍即可；
p₃：先求導函數，函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個零點，等價于函數y=lnx與y=2ax-1的圖象由兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖象．由圖可求得實數a的取值范圍
p₄：將方程根的問題轉化為函數圖象的交點問題，由圖象讀出即可．

解答 解：關于命題p₁：根據奇函數的定義可知，
f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），故?x∈R，f（-x）=-f（x），
故命題p₁正確；
關于命題p₂：f′（x）=$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2ax，x≥0\\ a（a+2）{e}^{ax}，x＜0\end{array}\right.$；
∴（1）若a＞0，x≥0時，f′（x）≥0，
即函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，且ax²+1≥1；
要使f（x）在R上為單調函數則x＜0時，a（a+2）＞0，
∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e^ax＜a+2，
∴a+2≤1，解得a≤-1，不符合a＞0，
∴這種情況不存在；
（2）若a＜0，x≥0時，f′（x）≤0，
即函數f（x）在[0，+∞）上單調遞減，且ax²+1≤1；
要使f（x）在R上為單調函數，則x＜0時，a（a+2）＜0，
解得-2＜a＜0，并且（a+2）e^ax＞a+2，
∴a+2≥1，解得a≥-1，∴-1≤a＜0；
綜上得a的取值范圍為[-1，0）；
故命題p₂是假命題；
關于命題p₃：由題意，y′=lnx+1-2ax
令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，
函數y=xlnx-ax²有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個零點，
等價于函數y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點，
在同一個坐標系中作出它們的圖象（如圖）

當a=$\frac{1}{2}$時，直線y=2ax-1與y=lnx的圖象相切，
由圖可知，當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點．
則實數a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）；
故命題p₃正確，
關于命題p₄：
∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[{0，1}）\\ 2-{x^2}，x∈[{-1，0}）\end{array}\right.$，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-2=$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}，x∈[0，1）\\-{x}^{2}，x∈[-1，0）\end{array}\right.$；
又$g（x）=\frac{2x+5}{x+2}$，
∴g（x-2）-2=$\frac{1}{x}$，
當x≠2k-1，k∈Z時，
上述兩個函數都是關于（-2，2）對稱，
；
由圖象可得：方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的實根有3個，
x₁=-3，x₂滿足-5＜x₂＜-4，x₃滿足0＜x₃＜1，x₂+x₃=-4；
∴方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實根之和為-7．
故命題p₄正確；
故選：C．

點評 本題考查均值不等式，主要考查函數的零點以及數形結合方法，數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷