Question

已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+3n+2，n∈N^×
（I）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）2b_n=b_n-1+a_n（n≥2，n∈N^×）確定的數(shù)列{b_n}能否為等差數(shù)列？若能，求b₁的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先看當(dāng)n=1時利用a₁=S₁，求得a₁．進(jìn)而當(dāng)n≥2時根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得a_n，最后綜合可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）把（I）中求得的代a_n入2b_n=b_n-1+a_n中求得數(shù)列的遞推式，進(jìn)而利用累乘法求得bn-2n=(b1-2)(

1

2

)n-1進(jìn)而分別看b₁=2和b₁≠2求得b_n，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答：解：（I）n=1時，a₁=S₁=6，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+2
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

6 n=1 2n+2 n=2

（II）由（I）知當(dāng)n≥2時，2b_n=b_n-1+2n+2，
整理得：bn-2n=

1

2

[bn-1-2(n-1)]
利用累乘法得：bn-2n=(b1-2)(

1

2

)n-1
若b₁=2，則b_n=2n，{b_n}為等差數(shù)列；
若b₁≠2，則bn=2n+(b1-2)(

1

2

)n-1，此時{b_n}不是等差數(shù)列
所以當(dāng)b₁=2時，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查了等差關(guān)系的確定．常涉及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識的掌握．