Question

15．如圖是函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，M，N是它與x軸的兩個交點，D，C分別為它的最高點和最低點，點F（0，1）是線段MD的中點，三角形MDC的面積為$\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）-m＞0在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$上恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）將函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再往上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象．求y=g（x）在區(qū)間[2009π，2017π]上的零點個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意根據點F（0，1）是線段MD的中點，求得最高點和最低點的坐標，可得A的值，再根據三角形MDC的面積為$\frac{2π}{3}$，求得ω的值，再根據特殊點的坐標求得φ的值，可得函數f（x）的解析式，再利用正弦函數的單調性，求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）若f（x）-m＞0在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$上恒成立，求得f（x）的最小值，可得m的取值范圍．
（Ⅲ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據g（x）的周期性求得 y=g（x）在區(qū)間[2009π，2017π]上的零點個數．

解答 解：（Ⅰ）由點F（0，1）是線段MD的中點，可知A=2，三角形MDC的面積為$\frac{1}{2}×\frac{T}{2}×2×2=\frac{2π}{3}$，
所以$T=\frac{2π}{3}，ω=\frac{2π}{T}=3$，設點D（x₀，2），則M（-x₀，0），
∴$4（{x_0}-（-{x_0}））=\frac{2π}{3}，{x_0}=\frac{π}{12}$，即$D（\frac{π}{12}，2）$，所以$2sin（3×\frac{π}{12}+ϕ）=2$，
∵$0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，∴$ϕ=\frac{π}{4}$，所以函數f（x）的解析式$f（x）=2sin（3x+\frac{π}{4}）$
由$\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得$\frac{π}{4}+2kπ≤3x≤\frac{5π}{4}+2kπ（k∈Z）$
得$\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}≤x≤\frac{5π}{12}+\frac{2kπ}{3}（k∈Z）$，
所以函數f（x）的單調減區(qū)間為$[\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}，\frac{5π}{12}+\frac{2kπ}{3}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）因為不等式f（x）-m＞0在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$上恒成立，
所以m＜（f（x））_min在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$，∵$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$，∴$3x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]．f{（x）_{min}}=2sin\frac{π}{6}=1$，即m＜1．
（Ⅲ）依題意得$g（x）=f（x+\frac{π}{6}）+1=2cos（3x+\frac{π}{4}）+1$，
其最小正周期$T=\frac{2π}{3}$，由$2cos（3x+\frac{π}{4}）+1=0$，得$cos（3x+\frac{π}{4}）=-\frac{1}{2}$，
所以$3x+\frac{π}{4}=2kπ±\frac{2π}{3}，k∈Z$，即$x=\frac{2kπ}{3}+\frac{5π}{36}，k∈Z$或$x=\frac{2kπ}{3}-\frac{11π}{36}，k∈Z$，
區(qū)間[2009π，2017π]的長度為12個周期，
若零點不在區(qū)間的端點，則每個周期有2個零點；
若零點在區(qū)間的端點，則僅在區(qū)間左或右端點處得一個區(qū)間含3個零點，其它區(qū)間仍是2個零點；
故當$2009π≠\frac{2kπ}{3}+\frac{5π}{36}，k∈Z$且$2009π≠\frac{2kπ}{3}-\frac{11π}{36}，k∈Z$，故有12×2=24個．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由特殊點的坐標求出ω 和φ的值；正弦函數的單調性、周期性、零點，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．