Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右準(zhǔn)線x=

a2

c

與兩漸近線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為右焦點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過F，則雙曲線的離心率為

2

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)雙曲線的漸近線為y=±

b

a

x和右準(zhǔn)線方程，得到右準(zhǔn)線交兩漸近線于A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

）．從而AB=

2ab

c

，再根據(jù)以AB為直徑的圓過右焦點(diǎn)F，得到焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離等于AB的一半，建立關(guān)于a、b、c的等式，化簡(jiǎn)整理可得a=b，最后根據(jù)離心率的計(jì)算公式，可求出該雙曲線的離心率．

解答：解：∵雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴雙曲線的兩漸近線為y=±

b

a

x
因此，可得右準(zhǔn)線x=

a2

c

交兩漸近線于A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

），
設(shè)右準(zhǔn)線x=

a2

c

交x軸于點(diǎn)G（

a2

c

，0）
∵以AB為直徑的圓過F，
∴AB=2GF，即

2ab

c

=2（c-

a2

c

），化簡(jiǎn)得a=b，
∴雙曲線的離心率為e=

c

a

=

a2+b2

a

=

2

故答案為：

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的右準(zhǔn)線與兩漸近線交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過右焦點(diǎn)F，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的基本概念與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．