Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O．
（Ⅰ）證明：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）設E為線段PC上一點，若AC⊥BE，求證：PA∥平面BED．

Answer 1

證明：（I）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
（II）∵AC⊥BE，AC⊥BD，BE∩BD=B，
∴AC⊥平面BED．
∴AC⊥OE．
在平面PAC中，PA⊥AC，OE⊥AC，
∴PA∥OE．
而PA?平面BED，OE?平面BED，
∴PA∥平面BED．
分析：（I）利用線面垂直的性質定理可得PA⊥BD，再利用線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理即可證明結論；
（II）利用線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BED，可得AC⊥OE．在同一平面內，PA⊥AC，于是得到OE∥PA，再利用線面平行的判定定理即可證明．
點評：熟練掌握線面垂直的判定和性質定理、面面垂直的判定定理、在同一平面內垂直與同一條直線的兩條直線平行的性質、線面平行的判定定理是解題的關鍵．