Question

已知x∈R，符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)f（x）=

[x]

x

（x＞0），則給出以下四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，1]；
②函數(shù)f（x）的圖象是一條曲線；
③函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
④函數(shù)g（x）=f（x）-a有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)

3

4

＜a≤

4

5

．
其中正確的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過舉特例，可得①、②、③錯(cuò)誤；數(shù)形結(jié)合可得④正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由于符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，函數(shù)f（x）=

[x]

x

（x＞0），
取x=-1.1，則[x]=-2，∴f（x）=

-2

-1.1

＞1，故①不正確．
由于當(dāng)0＜x＜1，[x]=0，此時(shí)f（x）=0；
當(dāng)1≤x＜2，[x]=1，此時(shí)f（x）=

1

x

；
當(dāng)2≤x＜3，[x]=2，此時(shí)f（x）=

2

x

，此時(shí)

2

3

＜f（x）≤1，
當(dāng)3≤x＜4，[x]=3，此時(shí)f（x）=

3

x

，此時(shí)

3

4

＜g（x）≤1，
當(dāng)4≤x＜5，[x]=4，此時(shí)f（x）=

4

x

，此時(shí)

4

5

＜g（x）≤1，
故f（x）的圖象不會(huì)是一條曲線，且 f（x）不會(huì)是（0，+∞）上的減函數(shù)，故排除②、③．
函數(shù)g（x）=f（x）-a有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)，

3

4

＜a≤

4

5

，故④正確，
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．