Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD．
（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q-BP-C的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先證明CD⊥平面PDAQ，可得CD⊥PQ；再由勾股定理得逆定理證得PQ⊥QD．再利用直線和平面垂直的判定定理證得PQ⊥平面DCQ，從而證得平面PQC⊥平面DCQ．
（2）如圖建立空間坐標(biāo)系，求得

CB

 和

BP

的坐標(biāo)，再求得平面的PBC法向量

n

 的坐標(biāo)，同理求得平面PBQ的法向量

m

 的坐標(biāo)，求得cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

 的值，從而求得sin＜

m

，

n

＞的值，即為所求．

解答：解：（1）由題意可得QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD．
由四邊形ABCD為正方形知DC⊥AD，又QA、AD為平面PDAQ內(nèi)
兩條相交直線，
∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

2

2

PD，
∴PQ²+DQ²=PD²．
由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．
又CD、QD為平面ADCB內(nèi)兩條相交直線，
∴PQ⊥平面DCQ．
再由PQ?平面PQC，可得平面PQC⊥平面DCQ．
（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，
射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz；
依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），B（1，0，1），

CB

=（1，0，0），

BP

=（-1，2，-1）．
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面的PBC法向量，則

n • CB =0 n • BP =0

，即

x=0 -x+2y-z=0

，
可取

n

=（ 0，-1，-2）．
同理求得平面PBQ的法向量

m

=（1，1，1）．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

0-1-2

5 • 3

=-

15

5

，故有 sin＜

m

，

n

＞=

10

5

，
即二面角Q-BP-C的正弦值為

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的求法，兩個(gè)向量的夾角公式．注意建立坐標(biāo)系要
容易求出點(diǎn)的坐標(biāo)，頂點(diǎn)一般選在有兩兩垂直的三條直線的交點(diǎn)處，這樣才有助于下一步的計(jì)算，體現(xiàn)了
轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．