Question

18、已知函數(shù)f（x）=x³-6ax²．
（I）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（II）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．
（II）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，因?yàn)樵诤瘮?shù)式中含字母系數(shù)a，要對(duì)a分類(lèi)討論．

解答：解：f'（x）=3x²-12ax
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率是k=15，而f（1）=7
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y-7=15（x-1），即15x-y-8=0．（6分）
（Ⅱ）令f′（x）=3x²-12ax=3x（x-4a）=0∴x₁=0，x₂=4a
（1）當(dāng)4a=0，即a=0時(shí)f'（x）=3x²≥0∴f（x）在R上為增函數(shù)．
（2）當(dāng)4a＜0，即a＜0時(shí)，在區(qū)間（-∞，4a），（0，+∞）內(nèi)f'（x）＞0，
在區(qū)間（4a，0）內(nèi)f'（x）＜0．∴f（x）在（-∞，4a），（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，在（4a，0）內(nèi)為減函數(shù)．
（3）當(dāng)4a＞0，即a＞0時(shí)，在區(qū)間（-∞，0），（4a，+∞）內(nèi)f'（x）＞0，
在區(qū)間（0，4a）內(nèi)f'（x）＜0．∴f（x）在（-∞，0），（4a，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，在（0，4a）內(nèi)為減函數(shù)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．