Question

如圖，已知直線l與拋物線x²=4y相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，定點B的坐標為（2，0）．
（I）若動點M滿足，求點M的軌跡C；
（Ⅱ）若過點B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）對拋物線方程進行求導(dǎo)，求得直線l的斜率，設(shè)出M的坐標，利用求得x和y的關(guān)系．
（II）設(shè)l'方程代入橢圓的方程，消去y，利用判別式大于0求得k的范圍，設(shè)出E，F(xiàn)的坐標，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，令，則可推斷出，進而表示出（x₁-2）•（x₂-2）和（x₁-2）+（x₂-2），最后求得k和λ的關(guān)系，利用k的范圍求得λ的范圍．
解答：解：（I）由x²=4y得，
∴．
∴直線l的斜率為y'|_x=2=1，
故l的方程為y=x-1，∴點A的坐標為（1，0）．
設(shè)M（x，y），則=（1，0），，，
由得，
整理，得．
∴動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓．
（II）如圖，由題意知l'的斜率存在且不為零，
設(shè)l'方程為y=k（x-2）（k≠0）=1 ①，
將 ①代入，整理，得
（2k²+1）x²-8k²•x+（8k²-2）=0，由△＞0得．
設(shè)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），則，②
令，則，
由此可得，，且0＜λ＜1．
由 ②知，
．
∴，
即．
∵，∴，
解得．
又∵0＜λ＜1，∴，
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（，1）．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生基本的推理能力和基本的運算能力．