Question

12．點P是直線y=x-1上的動點，過點P作圓C：x²+（y-2）²=1的切線，則切線長的最小值是（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{14}$
• C． $\frac{\sqrt{14}}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，要使切線長的最小，則必須點P到圓的距離最小，求出圓心到直線y=x-1的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求出切線長的最小值即可．

解答 解：∵圓C：x²+（y-2）²=1，
∴圓心C（0，2），半徑r=1．
由題意可知，
點P到圓C：x²+（y-2）²=1的切線長最小時，
CP⊥直線y=x-1．
∵圓心到直線的距離d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴切線長的最小值為：$\sqrt{\frac{9}{2}-1}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
故選C．

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，以及勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．