Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩個焦點的坐標(biāo)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點P在橢圓上，

PF2

•

F1F2

=0且△PF₁F₂的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和△PF₁F₂的外接圓D的方程；
（Ⅱ）A為橢圓C的左頂點，過點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點，且M、N均不在x軸上，設(shè)直線AM、AN的斜率分別為k₁、k₂，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)焦點的坐標(biāo)可求得c，進而根據(jù)三角形的周長求得a，則b可求得，進而求得橢圓C的方程，利用

PF2

•

F2F1

=0推斷出兩直線垂直，求得P的坐標(biāo)，則Rt△PF₂F₁的外接圓D的方程可求得．
（Ⅱ）先看當(dāng)直線的斜率不存在時，求得M，N則兩直線的斜率可得，求得K₁K₂的值；再看斜率存在時，設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，代入到K₁K₂中，最后綜合答案可得．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，c=1，2a+2=6，所以a=2，c=1
又a²=b²+c²，所以b=

3

，橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
因為

PF2

•

F2F1

=0，所以

PF2

⊥

F2F1

，可求得P(1，

3

2

 )或P(1，-

3

2

)，
所以Rt△PF₂F₁的外接圓D的方程是X2+(y-

3

4

)2=

25

16

或X2+(y+

3

4

)2=

25

16

．

（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，由（Ⅰ）得M(1，

3

2

)，N(1，-

3

2

)，
可得K1= 

1

2

，K2=-

1

2

，所以K1K2=-

1

4

．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，顯然k≠0，
則直線l的方程為y=k（x-1），
設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）將y=k（x-1）代入方程

x2

4

+ 

y2

3

= 1，
并化簡得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
可得：x₁+x2 =

8k2

3+4k2

，x1•x2 =

4k2- 12

3+4k2

，
所以k1 k2=

y1

x1 + 2

•

y2

x2+2

=

k(x1-1)•k(x2-1)

(x1+2)(x2+2)

=

k2[x1x2-(x1+x2 )+1]

x1x2+2(x1+x2)+4

=
k2•

4k2-12 3+4k2 - 8k2 3+4k2 +1

4k2-12 3+4k2 + 16k2 3+4k2

 =

1

4

綜上，k1k1=-

1

4

．

點評：本題主要考查圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力．