Question

（2006年安徽卷）已知函數(shù)在R上有定義，對任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù)，都有

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明 其中和均為常數(shù)；

（Ⅲ）當(dāng)（Ⅱ）中的時(shí)，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析。（Ⅱ）見解析。

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)取得極小值，極小值為

【解析】

試題分析：分析：（Ⅰ）抽象函數(shù)通過賦值法求解.

（Ⅱ）通過賦值，構(gòu)做的關(guān)系.

（Ⅲ）利用（Ⅱ）中關(guān)系，表示出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值性.

證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，則。

假設(shè)時(shí)，，則，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假設(shè)時(shí)，，則，而，∴，即成立�！�成立.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，

令，得；

當(dāng)時(shí)，，∴是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，∴是單調(diào)遞增函數(shù)；

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)取得極小值，極小值為

考點(diǎn)：本題主要考查分段函數(shù)、抽象函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在研究單調(diào)性方面的應(yīng)用。

點(diǎn)評：在抽象函數(shù)的求值和求解析式中要注意通過賦特殊值構(gòu)造求解關(guān)系.