Question

（2013•南開區(qū)二模）設函數(shù)f(x)=lnx-

1

2

ax2+x．
（1）當a=2時，求f（x）的最大值；
（2）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2-x+

a

x

（0＜x≤3），以其圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當a=0時，方程mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入函數(shù)f(x)=lnx-

1

2

ax2+x，對f（x）進行求導，求出其極值，根據(jù)導數(shù)來求最值；
（2）對F（x）進行求導，求過點P（x₀，y₀）的切線，求出k用x0的表達出來，再根據(jù)斜率k≤

1

2

恒成立，從而求出a的范圍；
（3）當a=0時，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，令g（x）=x²-mx-mlnx，對其進行求導，利用導數(shù)來畫出函數(shù)的草圖，從而來求解；

解答：解（1）a=2時，f（x）=lnx+x-x²，f/(x)=

1

x

+1-2x…（1分），
解f′（x）=0得x=1或x=-

1

2

（舍去）…（2分），
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增加，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減少…（3分），
所以f（x）的最大值為f（1）=0…（4分）
（2）F(x)=lnx+

a

x

（0＜x≤3），k=F/(x0)=

1

x0

-

a

x02

（0＜x₀≤3）…（6分）
由k≤

1

2

恒成立得a≥x0-

1

2

x02=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

恒成立…（7分）
因為-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，等號當且僅當x₀=1時成立…（8分），
所以a≥

1

2

…（9分）
（3）a=0時，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，
設g（x）=x²-mx-mlnx，
解g/(x)=2x-m-

m

x

=0…（10分），得x1=

m- m2+8m

4

（＜0舍去），x2=

m+ m2+8m

4

，
類似（1）的討論知，g（x）在x∈（0，x₂）單調(diào)增加，
在x∈（x₂，+∞）單調(diào)減少，最大值為g（x₂）…（11分），
因為mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，g（x）有唯一零點，所以g（x₂）=0…（12分），
由

g′ (x2)=0 g(x2)=0

得x₂+2lnx₂-1=0，
因為h（x）=x+lnx-1單調(diào)遞增，且h（1）=0，
所以x₂=1…（13分），
從而m=1…（14分）．

點評：此題考查利用導數(shù)來研究函數(shù)的切線，最值和函數(shù)的單調(diào)性，是高考必考的一類題，此題是一道中檔題．