△ABC中，角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，且a（cosB+cosC）=b+c．
（1）求證：A=
π2
；
（2）若△ABC外接圓半徑為1，求△ABC周長的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)余弦定理求得cosB，和cosC代入題設等式中，整理得（b+c）（a2-b2-c2）=0進而求得a2=b2+c2．判斷出A=
π
2
．
（2）根據(jù)直角三角形外接圓的性質可求得a，進而求得b+c的表達式，進而根據(jù)B的范圍確定b+c的范圍，進而求得三角形周長的范圍．
解答：解：（1）證明：∵a（cosB+cosC）=b+c
∴由余弦定理得a•
a2+c2-b2
2ac
+a•
a2+b2-c2
2ab
=b+c．
∴整理得（b+c）（a2-b2-c2）=0．
∵b+c＞0，∴a2=b2+c2．故A=
π
2
．
（2）∵△ABC外接圓半徑為1，A=
π
2
，∴a=2．
∴b+c=2（sinB+cosB）=2
2
sin（B+
π
4
）．
∵0＜B＜
π
2
，∴
π
4
＜B+
π
4
＜
3π
4
，∴2＜b+c≤2
2
．
∴4＜a+b+c≤2+2
2
，
故△ABC周長的取值范圍是（4，2+2
2
]．
點評：本題主要考查了余弦定理的應用．解題的關鍵是利用余弦定理把關于角的問題轉化為關于邊的問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•豐臺區(qū)一模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若f(x)=
1
2
cos2x-
2
3
cosx+
1
2
，求f（A）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•德州一模）已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
(x∈R)
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，
5π
12
]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，又f(
A
2
+
π
3
)=
4
5
，b=2，面積S△ABC=3，求邊長a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2bcosC，b+c=3a．求sinA的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•石景山區(qū)一模）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若A=
π4
，a=2，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，向量
m
=(1，cosB)，
n
=(sinB，-
3
)，且
m
⊥
n
．
（1）求角B的大��；
（2）若△ABC面積為
3
3
2
，3ac=25-b2，求a，c的值．

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