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函數f(x)定義在實數集上，并滿足如下條件：對于任意x∈R，有f(2＋x)=f(2－x)且f(7＋x)=f(7－x)，若f(0)=0，問f(x)=0在[－100，100]上至少有幾個根？

 

答案：
提示：

由條件f(2＋x)=f(2－x)，以x－2代x得：f(x)=f(4－x)(1)；再由條件f(7＋x)=f(7－x) 遞推f(4－x)=f[7－(3＋x)]=f[7＋(3＋x)]=f(x＋10)，則f(x＋10)=f(x)(2)，即f(x)是以10為周期的函數．在(1)、(2)中令x=0，有f(4)=f(0)=0，f(10)=f(0)=0．即0，4，10均為f(x)=0的根；由周期性知10k(－10≤k≤10)，10k＋4(－10≤k≤9)(k∈Z)都是f(x)=0的根．因此f(x)=0在[－100，100]上至少有41個根．

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R的函數f(x)=
-2x+a2x+1+b
（a，b為實常數）．
（Ⅰ）當a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數；
（Ⅱ）設f（x）是奇函數，求a與b的值；
（Ⅲ）當f（x）是奇函數時，證明對任何實數x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設關于x的方程x2-mx-1=0有兩個實根α、β，且α＜β．定義函數f(x)=
2x-m
x2+1
.
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間（α，β）上的單調性，并加以證明；
（Ⅲ）若λ，μ為正實數，證明不等式：|f(
λα+μβ
λ+μ
)-f(
μα+λβ
λ+μ
)| ＜ |α-β|.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（任選一題）
①已知函數f（x）=x2-2，g（x）=xlnx，
（1）若對一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）試判斷方程ln(1+x2)-
12
f(x)-k=0有幾個實根．
②已知f′（x）為f（x）的導函數，且定義在R上，對任意的x都有2f（x）+xf′（x）＞x2，試證明f（x）＞0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在[1，+∞）上的函數f(x)=
8-16|x-
3
2
|，(1≤x≤2)
1
2
f(
x
2
)，(x＞2)
，有下面五個命題：
①函數f（x）是周期函數；
②函數f（x）的值域為[0，8]；
③關于x的方程f（x）=(
1
2
)n-1（n∈N*）有2n+5個不同的實根；
④當x∈[2n-1，2n]（n∈N*）時，f （x）的圖象與x軸圍成圖形的面積為4；
⑤存在實數x0，使x0f（x0）＞12成立．
其中正確命題是
②⑤
②⑤
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=ax+
2
x
+6，其中a為實常數．
（1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）已知a=
3
4
，P1，P2是函數f（x）圖象上兩點，若在點P1，P2處的兩條切線相互平行，求這兩條切線間距離的最大值；
（3）設定義在區(qū)間D上的函數y=s（x）在點P（x0，y0）處的切線方程為l：y=t（x），當x≠x0時，若
s(x)-t(x)
x-x0
＞0在D上恒成立，則稱點P為函數y=s（x）的“好點”．試問函數g（x）=x2f（x）是否存在“好點”．若存在，請求出所有“好點”坐標，若不存在，請說明理由．

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