Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若有兩個零點，求實數(shù)的范圍；

（3）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，如果，且，證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析： 求導即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，求導后分類討論當時、當時、當時、當時的情況，給出結(jié)果令，求導證明可得，得證

解析：（1）根據(jù)，

令，解得，當變化時， ， 的變化情況如下表：

	遞減		遞增

∴函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；函數(shù)在處取的極小值，無極大值.

（2）由，則，

當時， ，易知函數(shù)只有一個零點，不符合題意，

當時，在上， 單調(diào)遞減；在上， 單調(diào)遞增，又， ，當時， ，所以函數(shù)有兩個零點，

當時，在和上， 單調(diào)遞增，在上， 單調(diào)遞減.又 ，所以函數(shù)至多一個零點，不符合題意，

當時，在和上， 單調(diào)遞增，在上， 單調(diào)遞減.

又，所以函數(shù)至多一個零點，不符合題意，

當時， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多一個零點，不符合題意，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

（3）由， ，令，解得，當變化時， ， 的變化情況如下表：

	遞增		遞減

由，不妨設(shè)，根據(jù)結(jié)合圖象可知， ，

令， ，則，∵， ，∴，則，∴在單調(diào)遞增，又∵，∴時， ，即當時， ，則，

又，∴，因，∴，∴，∵在上是增函數(shù)，∴，∴得證.