Question

13．已知函數(shù)f（x）=2${\;}^{{x^2}-2x-3}}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=x²-2x-3，f（x）=g（t）=2^t （t≥-4），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t的定義域與值域，可得函數(shù)f（x）的定義域和值域．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）對于函數(shù)f（x）=2${\;}^{{x^2}-2x-3}}$，
令t=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，可得f（x）=g（t）=2^t （t≥-4）．
由于t的定義域?yàn)镽，故故函數(shù)的定義域?yàn)镽．
∵t≥-4，故f（x）≥2^-4=$\frac{1}{16}$，故f（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{16}$，+∞）．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）=g（t）=2^t，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間．
由于函數(shù)t=（x-1）²-4的減區(qū)間為（-∞，1]，增區(qū)間為：[1，+∞），
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間：（-∞，1]，單調(diào)遞增區(qū)間：[1，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．