Question

已知橢圓的某個(gè)焦點(diǎn)為F，雙曲線（a，b＞0）的某個(gè)焦點(diǎn)為F．
（1）請?jiān)赺_____

Answer 1

【答案】分析：（1）可以考慮橢圓的離心率，長軸長等；或橢圓所經(jīng)過的點(diǎn)；或橢圓的準(zhǔn)線及利用橢圓的定義給出條件
（2）一：考慮橢圓的某個(gè)焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)P（m，n）滿足的相關(guān)的性質(zhì)
 二：考慮雙曲線（a，b＞0）的某個(gè)焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)P（m，n）滿足相關(guān)的性質(zhì)
（3）先求以PF為直徑的圓的方程為，設(shè)A（0，y₁），B（0，y₂），則可得，從而可得直線PA的方程為，即px-2y₁y+2y₁²=0
聯(lián)立，可得到y(tǒng)²-4y₁y+4y₁²=0，通過判斷△=0
解答：解：（1）補(bǔ)充一：橢圓的離心率為，且橢圓的長軸長為
補(bǔ)充二：橢圓過和
補(bǔ)充三：橢圓上任一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和為，且橢圓的一條準(zhǔn)線長為
類似地還可以有很多補(bǔ)充，這里不再贅述，評卷員視實(shí)際情況給分，本題滿分（2分）
（2）命題一：已知橢圓的某個(gè)焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)P（m，n）滿足，
以PF為直徑的圓與圓x²+y²=a²交于A、B兩點(diǎn)，則PA、PB與橢圓相切．（5分）
命題二：已知雙曲線（a，b＞0）的某個(gè)焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)P（m，n）滿足，
以PF為直徑的圓與圓x²+y²=a²交于A、B兩點(diǎn)，則PA、PB與雙曲線相切．（9分）
（3）證明：以PF為直徑的圓的方程為，
設(shè)A（0，y₁），B（0，y₂），
則，
直線PA的方程為，即px-2y₁y+2y₁²=0
聯(lián)立，
消去x得到y(tǒng)²-4y₁y+4y₁²=0，所以△=0，所以直線PA與拋物線相切．
同理可證PB與拋物線相切．（13分）
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解（2）的關(guān)鍵是要能由已知進(jìn)行類別，解決本題要求考試具備較強(qiáng)的類比的能力及邏輯推理的能力．